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sin 1°, cos 1°, tan 1°, sin 1, cos 1, tan 1が無理数であることの証明をまとめました。
ついでに角度の単位が度のものは代数的数、ラジアンのものは超越数になることも証明しました。
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位相が強まると、部分集合が開・閉になりやすくなり、稠密になりにくくなり、閉包が小さくなり、点列が収束しにくくなり、その空間を始域とする写像が連続になりやすくなり、終域とする写像が連続になりにくくなり、分離性が良くなり（従ってハウスドルフになりやすくなり）、コンパクト性が悪くなる。
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もしも微分ガロア理論のチャートがあったら
「初等関数」はお気持ちに過ぎない言葉ではなく、実は数学的に厳密に定義できます。
特定の関数の不定積分や微分方程式の解が初等関数で表せないことが証明できたり、微分方程式が“解ける”ための必要十分条件が群の可解性で語れたりします。
#チェート式
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悟空語で数学してみました。
お題はディリクレ積分の一般化です。
∫[0,∞](sin(x))^n /x^β dx (n: 自然数, β: 複素数, Re β≧1)の値(あてぇ)を求めます(求めっぞ)。
複素けぇ析のつえぇ定理の力でディリクレ積分がどんだけパワーアップすっか、オラわくわくすっぞ！
ぜってぇ見てくれよな！
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幾何学Iの先生の悪行
・板書が速すぎる
・「昔はもっと速くできた」「中学レベルかな」等とイキる
・みんな圏論を既知だと勘違いする
・まだ代数で習ってない代数の概念を平然と多用する
・レンズ空間
・普通は学部で習わない固有不連続作用を自分の趣味で重要と位置付ける
・演習を院試より難しくする
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暇人かつ数学徒ならみんなやると思いますが、円と楕円（内部を含む）の方程式だけを使って「いのちの輝き」を描きました。
全部で16個の数式を使っていますが、それらをmin関数でつなぎ合わせれば全体を1つの数式で表すこともできます。
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級数の収束判定法としてコーシーの判定法、ダランベールの判定法、ラーべの判定法、ガウスの判定法、クンマーの判定法など、強力なものが沢山知られていますが、いずれも完全無欠ではありません。
Flint Hills級数と呼ばれる、こんな単純な形なのに収束するか発散するかさえ未解決の級数があります。
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ラプラシアンの固有値と固有関数について数年前に個人的にまとめたメモです。こういう一覧表がネットに無かったので自分で作りました。
元々個人用なので汚い上に一部の数理物理学徒と楕円型偏微分方程式論徒にしかウケないと思いますが、誰にも見せないでお蔵入りになるのは勿体無いので公開します。
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流行りの「π=4の証明」、古典的な「1=2の証明」の一つと実質同じだから今更騒ぎたくないけど、間違いの原因は
•「図形の収束」と長さを測る操作が非可換
• 各点の動きの自由度＞測度の次元
• ds=√(dx^2+dy^2)≠|dx|+|dy|（(dx,dy)を1-ノルムで測るのは弧長の定義に反する）
など多様に見られて深い
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「tan治郎」がトレンド入りしてるの、タイミングから考えて、このツイートが引き金になったのでは？
みんながこのツイートを見てtan治郎tan治郎言いまくった影響で、昔からある色々なtan治郎ネタも再び拡散されてそれらも巻き込んで話題になってるっぽい。
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こういう平方根と和の無限反復を求めるやつ、勝手に収束すると決め付けて値だけ求めるのがありがちだけど、ダメでしょ。
そもそもこのaが確定するかも非自明だし、a=∞でもa=√(x+a)になってしまうぞ。
収束についてちゃんと議論されることが少なそうなので書いてみた。
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多変数の相加平均・相乗平均の関係は高校数学では2^n変数の場合を先に示す独特の帰納法やゴリゴリ計算で導かれることが多いですが、測度論や凸性を使うとほぼ何の計算もせず一瞬で導けます。
他にも代表的な斉次性の利用やラグランジュの未定乗数法など計7通りの証明を紹介します。
#チート式
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Nの次の自然数→ N+1
Nの次に大きい自然数→ N-1
Nの次に小さい自然数→ N+1
Nの次に小さい数→ ill-defined
N番目に大きい自然数→ 存在しない
N番目に小さい自然数→ N（0を自然数に含まない場合）
日本語は難しい。つい「3は2の次に大きい自然数」とか言いがちだけど、よく考えるとおかしい。
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「正∞角形は円である」あるいは「lim[n→∞]正n角形は円である」という根拠を7つ挙げてみました。
初等幾何はもちろん、集合論、位相空間論、測度論、関数解析学など、様々な観点から色々と分析できます。
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チェザロ平均の収束は「ε-N論法を使わなければ証明できない例」としてよく挙げられますが、これは嘘で、実は高校範囲内で示せます。
limと∫の順序交換も測度論なしで高校範囲内で展開できます。
中間値の定理が実数の連続性と等価なので、実は原理的にε-δ論法自体も高校数学から逆に「導出」できます
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色々な「場合の数」の母関数を挙げてみました。組合せ論的な情報が代数・解析的に扱えるようになるのが面白いです。機械的に場合の数が求まります。直接一般項を出す方が早い場合も多いですが、漸化式等から代数方程式・微分方程式を作って母関数を求め、母関数から一般項も求まります。
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全ての階数の微分と積分(積分定数は平均が0になるように選ぶ)が一様に有界な実関数は本質的に三角関数しかないらしい。
しかもこの条件だけで周期が定数倍の違いもなくちょうど2πに決まってしまうのが驚き。
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鋭い理系「古文が社会で役に立つ様子を私が想像できないのは、実際に役立たないからじゃなくて、古文を使わなくていい生き方を私が選択したからに過ぎない。私が古文を使わなくて済む現在は、文系が古文・漢文に秘められた文化と先人の叡智を分析して現代社会に至る歴史を形作ったお陰なんだろうな」
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実際に数式で使ったら便利そうな部首を定義してみました。 twitter.com/Keyneqq/status…
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その年の日本の全大学の数学の入試問題の中で最難とされる伝説の2019年度東工大入試問題第4問（空間をn個の平面で分割したときにできる領域の個数に関する問題）の4次元バージョンを作ってみました。解答も付けておきます。
次元が上がってるので元ネタより遥かに難しいです。死ぬほど難しいです。
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今年の東大入試理系数学のうち骨がありそうな問題を一般化してみました。
なんか難化したとか言われていますが、それよりも難しくしたので東大を超えたい人は是非挑戦してみてください。
一般化すると本質が可視化され、問題がいかに練られていたかもよく分かるようになります。
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。