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数学徒F「努力が毎日必ず成果を生じるという仮定も非現実的」
数学徒G「そのモデルを適用できる努力の具体例は？」
数学徒H「1.01^{365.24×100}≒6.82×10^157となり、仮に最初が素粒子1個分だったとしてもその努力で増やし続けると100年後には観測可能な宇宙に存在する素粒子の個数を超えるので矛盾」
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∫dx f(x)のここがスゴい
・dxの付け忘れ防止になる
・∫dxが積分作用素だと思えば自然
・被積分関数が長い場合や逐次積分が見易い
・物理学徒にはウケが良い
∫dx f(x)のここがダメ
・非常識
・見た目がキモい
・∫dxとf(x)の積と紛らわしい
・高校数学の先生に怒られる
・微分形式にケンカ売ってる
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数III以外のチートも見たいという意見が多かったので数IIのチートを考えました。
お題は記述でも堂々と使える二重接線を瞬時に求める式変形テクと、記述では使わない方がいいけど検算で役立つ1/30公式等の一般化。
受験期真っ只中でもきちんとTwitterを見ている良い子の皆さんへプレゼント！
#チート式
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「実数は存在するが、虚数は存在しない」と言う人vs「虚数が存在しないなら実数も存在しない」と言う人
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浪人生「教えてあげる」
友達「やったー！」
数学徒A「積分定数がない」
数学徒B「| |を\ \で代用するな」
数学徒C「sinは斜体表記するな」
数学徒D「漸化式のsin^2はsin^nの誤植だ」
数学徒E「逆三角関数は高校範囲か」
数学徒F「最終行の部分積分がめちゃくちゃだ」
数学徒G「数式がTeXじゃない」
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4つ以上の集合のベン図は描くだけでも至難の業。
円だけで表現可能なのは3集合までで、4,5集合だと楕円くらいは必要になり、6集合以上だと更にぐにゃぐにゃの図形が必要になる。
回転対称性をもつベン図は11集合まで知られてるけど実用性は皆無。
procrasist.com/entry/venn-dia…
visualizing.jp/euler-venn-dia…
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ボールウェイン積分と呼ばれる世にも奇妙な積分です。
sin(x/k)/(x/k) (k:奇数)を掛けた積分は7個目まで正確にπ/2なので、そのパターンがずっと続くのかと思いきや、8個目から微妙にズレ始めます。ホラーです。
実はフーリエ変換を使って畳み込みのグラフを考えると直感的に理解できて謎が解けます。
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解析力学あるある
教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」
物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」
教員「こういうもんだ！覚えろ」
数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」
物理学徒「なるほど👏」
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謎の転校生「…(スラスラ)」
一般人「天才だ！」
数学徒A「二項係数が自然数である証明が不自然」
数学徒B「mod 14でx^2-2ax+b≡r^2-12r+1≡r^2+2r+1と表した方が簡便では？何度も時間遡行しても合同式にすら思い至らないんですか？」
数学徒C「最後地味に(a-1)bを(a-1)^bと書き間違えてませんか」
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軽く悟りを開いたかもしれない。
部分積分、逆関数の積分、積に関するヤングの不等式、ルジャンドル変換が全て似たような図で可視化できることに気付いた。
数式だけ追いかけてると別物に見えるけど、背景にある本質は同じ。
発想の類型として持っておきたい。
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謎の転校生「円錐の体積はこのように積分して…」
一般人「すげぇ！天才児だ！」
数学徒「この証明は美しくない。Cavalieriの原理より2立体のある平面に平行な任意の平面による断面積の比が一定値aなら体積比がaになることから初等的に求まるのに、より構成が複雑な積分を使うのは文明の無駄遣いだ」
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アンビリbotをネタにして数学の問題を作りました。場合の数や確率の良い計算練習になると思います。解答はリプ欄に貼ります。
1回の試行で「奇跡体験！アンビリバボー」が出る確率は1/800000。1年以内に出る確率は1%強。
「奇跡体験！アンビリバボー」が最初に出るまでにかかる時間の期待値は約91年。
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某漫画のワンシーンが「積分のdxがない」「Σcosθとか頭大丈夫か」などと先週話題になりましたが、ここでBrezisによる積分の略記と不定和分の記法を見てみましょう。
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「A ∴B」を「A⇒B」って書くのやめてほしい。「A ∴B」はAが実際に成立するからBだという意味だけど、「A⇒B」はもしAが成立したらBだと言っているに過ぎず、実際にAが成立しているかは問題にしていない。「A ∴B」は推論、「A⇒B」は命題だという点でも違う。
教員でもたまに混同している人がいる。
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ついに禁断の「黒チート」を解禁する時が来ました。
東大の過去問を例にして、n個のサイコロの出た目の和や積が与えられた条件を満たす値になる確率や場合の数を「代数的」に計算できる裏技公式を紹介します。
場合の数を多項式の係数と見れば、面倒な場合分けは不要になります。
#チート式
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今回のチート式は5乗の和の公式をできるだけ効率よく導出します。高校数学では3乗和まで暗記させられて4乗和がよく問題で出されますが、5乗以上は正攻法では計算が地獄になります。
後で思いついたのですが、チート④としてf(x)=x^5にEuler–Maclaurinの和公式を適用しても簡単に求まります。
#チート式
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前回のチート式では「脱法ロピタル」が好評だったので「脱法パップスギュルダン」も作ってみました。記述も計算も楽です。この手法はあまり知られていないと思います。
重心の定義からパップスギュルダンの定理とほぼ等価ですが、有名な裏技であるバウムクーヘン積分はより広範に使えます。
#チート式
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「正則と言えば？」
線形代数学徒「正則行列」
複素解析学徒「正則関数」
位相空間論徒「正則空間」
線形表現論徒「正則表現」
グラフ理論徒「正則グラフ」
公理的集合論徒「正則性公理」
文系「『まさのり』って誰？」
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夏休みの自由研究
「物語におけるタイムトラベルの型の分類と各型の相対論・量子論との整合性について」
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100マス積分を埋めてみた。
被積分関数が簡単な関数の積なので、下に書いてある定石通りに部分積分すれば(部分分数分解は面倒臭いけど)全部できる。イオン化傾向みたいなノリで「微分形見做され傾向」を掴もう。
答えに特殊関数が現れないものは大学入試の標準レベルなので受験生は解けなきゃ困る。
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。