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全ての階数の微分と積分(積分定数は平均が0になるように選ぶ)が一様に有界な実関数は本質的に三角関数しかないらしい。
しかもこの条件だけで周期が定数倍の違いもなくちょうど2πに決まってしまうのが驚き。
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円を使った「相加平均≧相乗平均」の図解は割と有名ですが、実はそれだけではなく「最大値≧二乗平均平方根(RMS)≧相加平均≧相乗平均≧調和平均≧最小値」という6つのヘルダー平均(一般化平均)の関係が1つの半円だけで視覚化できます。更にこれを動かせば等号成立条件も分かります。
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「実数は存在するが、虚数は存在しない」と言う人vs「虚数が存在しないなら実数も存在しない」と言う人
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数学で計画性をもたずにめちゃくちゃに添字を付けていくと、こんな感じの地獄になります。
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東大「π>3.05を示せ」
阪大挑戦枠「π>3.141を示せ」
ワイ大学「π>3.14159265358979323を示せ」
#円周率の日
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チェザロ平均の収束は「ε-N論法を使わなければ証明できない例」としてよく挙げられますが、これは嘘で、実は高校範囲内で示せます。
limと∫の順序交換も測度論なしで高校範囲内で展開できます。
中間値の定理が実数の連続性と等価なので、実は原理的にε-δ論法自体も高校数学から逆に「導出」できます
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4つ以上の集合のベン図は描くだけでも至難の業。
円だけで表現可能なのは3集合までで、4,5集合だと楕円くらいは必要になり、6集合以上だと更にぐにゃぐにゃの図形が必要になる。
回転対称性をもつベン図は11集合まで知られてるけど実用性は皆無。
procrasist.com/entry/venn-dia…
visualizing.jp/euler-venn-dia…
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今回のチート式は留数計算です。
(いつかやると思ってたという声が聞こえてきそうです)
高校数学では凄まじいエネルギーを消費する必殺技しか通用しない高難度の積分ですが、留数定理を使えば“積分すらせずに”積分の値が求まります。
これが複素解析の力です。
#チート式
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「◯◯積分」という言葉を集めました。200個以上あります。
数学のみならず物理も混ざってます。
積分って200種類あんねん。
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多変数の相加平均・相乗平均の関係は高校数学では2^n変数の場合を先に示す独特の帰納法やゴリゴリ計算で導かれることが多いですが、測度論や凸性を使うとほぼ何の計算もせず一瞬で導けます。
他にも代表的な斉次性の利用やラグランジュの未定乗数法など計7通りの証明を紹介します。
#チート式
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色々な「場合の数」の母関数を挙げてみました。組合せ論的な情報が代数・解析的に扱えるようになるのが面白いです。機械的に場合の数が求まります。直接一般項を出す方が早い場合も多いですが、漸化式等から代数方程式・微分方程式を作って母関数を求め、母関数から一般項も求まります。
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ルベーグ可積分ではない（従ってリーマン可積分でもない）が、ヘンストック・クルツヴァイル可積分な関数の例。
ルベーグ積分は「万能」と言えるかもしれませんが、「全能」ではありません。
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正七角形って、中途半端に角が多くて、正多角形なのになんか歪で、作図もできないし、内角のcosの値や面積公式も物凄く汚いから、嫌われてそうですが、意外と綺麗な性質が沢山あります。
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「A ∴B」を「A⇒B」って書くのやめてほしい。「A ∴B」はAが実際に成立するからBだという意味だけど、「A⇒B」はもしAが成立したらBだと言っているに過ぎず、実際にAが成立しているかは問題にしていない。「A ∴B」は推論、「A⇒B」は命題だという点でも違う。
教員でもたまに混同している人がいる。
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35通りの方法で証明してみました twitter.com/hirokazuohsawa…
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軽く悟りを開いたかもしれない。
部分積分、逆関数の積分、積に関するヤングの不等式、ルジャンドル変換が全て似たような図で可視化できることに気付いた。
数式だけ追いかけてると別物に見えるけど、背景にある本質は同じ。
発想の類型として持っておきたい。
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こういう平方根と和の無限反復を求めるやつ、勝手に収束すると決め付けて値だけ求めるのがありがちだけど、ダメでしょ。
そもそもこのaが確定するかも非自明だし、a=∞でもa=√(x+a)になってしまうぞ。
収束についてちゃんと議論されることが少なそうなので書いてみた。
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もしも微分ガロア理論のチャートがあったら
「初等関数」はお気持ちに過ぎない言葉ではなく、実は数学的に厳密に定義できます。
特定の関数の不定積分や微分方程式の解が初等関数で表せないことが証明できたり、微分方程式が“解ける”ための必要十分条件が群の可解性で語れたりします。
#チェート式
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ついに禁断の「黒チート」を解禁する時が来ました。
東大の過去問を例にして、n個のサイコロの出た目の和や積が与えられた条件を満たす値になる確率や場合の数を「代数的」に計算できる裏技公式を紹介します。
場合の数を多項式の係数と見れば、面倒な場合分けは不要になります。
#チート式
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級数の収束判定法としてコーシーの判定法、ダランベールの判定法、ラーべの判定法、ガウスの判定法、クンマーの判定法など、強力なものが沢山知られていますが、いずれも完全無欠ではありません。
Flint Hills級数と呼ばれる、こんな単純な形なのに収束するか発散するかさえ未解決の級数があります。
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数学全体の分野の構造を俯瞰する一覧や“地図”みたいなもの、ありそうで意外と見かけないので自分で作ってみました。
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悟空語で数学してみました。
お題はディリクレ積分の一般化です。
∫[0,∞](sin(x))^n /x^β dx (n: 自然数, β: 複素数, Re β≧1)の値(あてぇ)を求めます(求めっぞ)。
複素けぇ析のつえぇ定理の力でディリクレ積分がどんだけパワーアップすっか、オラわくわくすっぞ！
ぜってぇ見てくれよな！
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。