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量子力学の「ΨとΨの共役を独立に動かす」という考え方は正当化できるかという質問が来てました。これは一応「複素では独立ではないけど実で見れば独立変数2つ分の自由度があり、それを変数変換したから」と言い訳できますが、この考え方は数学的に遠回りなので普通にΨだけで変分するのをお勧めします。 twitter.com/rikeisenjucano…
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Nの次の自然数→ N+1
Nの次に大きい自然数→ N-1
Nの次に小さい自然数→ N+1
Nの次に小さい数→ ill-defined
N番目に大きい自然数→ 存在しない
N番目に小さい自然数→ N（0を自然数に含まない場合）
日本語は難しい。つい「3は2の次に大きい自然数」とか言いがちだけど、よく考えるとおかしい。
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数学徒F「努力が毎日必ず成果を生じるという仮定も非現実的」
数学徒G「そのモデルを適用できる努力の具体例は？」
数学徒H「1.01^{365.24×100}≒6.82×10^157となり、仮に最初が素粒子1個分だったとしてもその努力で増やし続けると100年後には観測可能な宇宙に存在する素粒子の個数を超えるので矛盾」
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世間「そうだそうだ！努力する者は報われるんだ！」
数学徒A「1日当たり1を基準として積み重ねるなら和の方が自然。和だと大差が出ないから積にするって卑怯では？」
数学徒B「比が一定な根拠は？」
数学徒C「(1+1/n^2)の積は無限に続けても4を超えないぞ」
数学徒D「≒だろ」
数学徒E「有効数字w」
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定積分は対称性を利用すると驚くほど簡単に求まることがあります。
「対称性なんか考えてる暇があったら力ずくでも原始関数を求めてやる」という人もたまにいますが、やれるもんならやってみてください。
例えばこれは所謂King Propertyで求まる定積分ですが、原始関数は死ぬほど複雑になります。
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sin 1°, cos 1°, tan 1°, sin 1, cos 1, tan 1が無理数であることの証明をまとめました。
ついでに角度の単位が度のものは代数的数、ラジアンのものは超越数になることも証明しました。
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今年の東大入試理系数学のうち骨がありそうな問題を一般化してみました。
なんか難化したとか言われていますが、それよりも難しくしたので東大を超えたい人は是非挑戦してみてください。
一般化すると本質が可視化され、問題がいかに練られていたかもよく分かるようになります。
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全大学の入試数学で当時最難とされた伝説の2019年度東工大数学第4問（空間をn個の平面で分割したときにできる領域の個数に関する問題）をN次元に一般化してみました。
死ぬほど難しいです。
不思議なことに二項係数の和が現れます。
二重漸化式でゴリ押して「N重のシグマ」を工夫して計算しました。
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「正∞角形は円である」あるいは「lim[n→∞]正n角形は円である」という根拠を7つ挙げてみました。
初等幾何はもちろん、集合論、位相空間論、測度論、関数解析学など、様々な観点から色々と分析できます。
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悟空語で数学してみました。
お題はディリクレ積分の一般化です。
∫[0,∞](sin(x))^n /x^β dx (n: 自然数, β: 複素数, Re β≧1)の値(あてぇ)を求めます(求めっぞ)。
複素けぇ析のつえぇ定理の力でディリクレ積分がどんだけパワーアップすっか、オラわくわくすっぞ！
ぜってぇ見てくれよな！
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数学全体の分野の構造を俯瞰する一覧や“地図”みたいなもの、ありそうで意外と見かけないので自分で作ってみました。
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級数の収束判定法としてコーシーの判定法、ダランベールの判定法、ラーべの判定法、ガウスの判定法、クンマーの判定法など、強力なものが沢山知られていますが、いずれも完全無欠ではありません。
Flint Hills級数と呼ばれる、こんな単純な形なのに収束するか発散するかさえ未解決の級数があります。
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ついに禁断の「黒チート」を解禁する時が来ました。
東大の過去問を例にして、n個のサイコロの出た目の和や積が与えられた条件を満たす値になる確率や場合の数を「代数的」に計算できる裏技公式を紹介します。
場合の数を多項式の係数と見れば、面倒な場合分けは不要になります。
#チート式
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もしも微分ガロア理論のチャートがあったら
「初等関数」はお気持ちに過ぎない言葉ではなく、実は数学的に厳密に定義できます。
特定の関数の不定積分や微分方程式の解が初等関数で表せないことが証明できたり、微分方程式が“解ける”ための必要十分条件が群の可解性で語れたりします。
#チェート式
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こういう平方根と和の無限反復を求めるやつ、勝手に収束すると決め付けて値だけ求めるのがありがちだけど、ダメでしょ。
そもそもこのaが確定するかも非自明だし、a=∞でもa=√(x+a)になってしまうぞ。
収束についてちゃんと議論されることが少なそうなので書いてみた。
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軽く悟りを開いたかもしれない。
部分積分、逆関数の積分、積に関するヤングの不等式、ルジャンドル変換が全て似たような図で可視化できることに気付いた。
数式だけ追いかけてると別物に見えるけど、背景にある本質は同じ。
発想の類型として持っておきたい。
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35通りの方法で証明してみました twitter.com/hirokazuohsawa…
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「A ∴B」を「A⇒B」って書くのやめてほしい。「A ∴B」はAが実際に成立するからBだという意味だけど、「A⇒B」はもしAが成立したらBだと言っているに過ぎず、実際にAが成立しているかは問題にしていない。「A ∴B」は推論、「A⇒B」は命題だという点でも違う。
教員でもたまに混同している人がいる。
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正七角形って、中途半端に角が多くて、正多角形なのになんか歪で、作図もできないし、内角のcosの値や面積公式も物凄く汚いから、嫌われてそうですが、意外と綺麗な性質が沢山あります。
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ルベーグ可積分ではない（従ってリーマン可積分でもない）が、ヘンストック・クルツヴァイル可積分な関数の例。
ルベーグ積分は「万能」と言えるかもしれませんが、「全能」ではありません。
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。