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「1からnまでの数字が書かれたn枚のカードがある」と書くと普通は1枚に1つずつ数字が書かれてると思うけど、ごく稀に不合格者が「1枚に1からnまでの数字が全部書いてあると思った」とクレームつけてくるから入試問題を作る際は細心の注意を払って誤解の余地がない問題文を作るって恩師が仰ってた
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「速読英単語」のオマージュで「速読数学英語」というものを試作しました。
学部の数学科では英語なんて全く教えないくせに院試でいきなり数学関係の英語の長文を出題してくる大学も多く、対策が難しいですよね。
そんなときにこういうのがあれば役立ちそうだと思い、一部だけですが作ってみました。
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100マス積分を埋めてみた。
被積分関数が簡単な関数の積なので、下に書いてある定石通りに部分積分すれば(部分分数分解は面倒臭いけど)全部できる。イオン化傾向みたいなノリで「微分形見做され傾向」を掴もう。
答えに特殊関数が現れないものは大学入試の標準レベルなので受験生は解けなきゃ困る。
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余弦定理を使わず直接的に三角関数の加法定理を図解する一番シンプルな方法はこれ。小学生でも分かる。
2α+β=90°のときに長方形の紙を折った形になると思うと覚えやすい。忘れても一瞬で導出できる。
鋭角じゃない場合の証明は解析接続()でもいいけど同じ図で「長さが負⇔線分が逆向き」と解釈すればOK
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実際に数式で使ったら便利そうな部首を定義してみました。 twitter.com/Keyneqq/status…
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人知を超越するほど頭の悪い人の2021年度東大数学第4問の解き方 twitter.com/keisankionwyki…
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頭の良い人と悪い人の2021年度一橋大学入試数学第1問の解き方の違い。
教育系YouTuberはほとんど3集合の包除原理で解説してますが、もっと効率的な方法があります。オイラー関数を考えたことがあれば自然と思いつくでしょう。
ちなみに2/3=1-1/3みたいにして展開すると4集合の包除原理と同じ式が出ます
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積分アレルギーのある人から「積分のチートばっかりだ」とクレームが入ったので積分と関係ないチートを考えました。
対称性・交代性を上手く使えば、面倒な文字式の計算を全くせずに因数分解できます。
対称性や交代性がない式の因数分解も多変数の因数定理で楽にできる場合もあります。
#チート式
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位相が強まると、部分集合が開・閉になりやすくなり、稠密になりにくくなり、閉包が小さくなり、点列が収束しにくくなり、その空間を始域とする写像が連続になりやすくなり、終域とする写像が連続になりにくくなり、分離性が良くなり（従ってハウスドルフになりやすくなり）、コンパクト性が悪くなる。
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その年の日本の全大学の数学の入試問題の中で最難とされる伝説の2019年度東工大入試問題第4問（空間をn個の平面で分割したときにできる領域の個数に関する問題）の4次元バージョンを作ってみました。解答も付けておきます。
次元が上がってるので元ネタより遥かに難しいです。死ぬほど難しいです。
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数III以外のチートも見たいという意見が多かったので数IIのチートを考えました。
お題は記述でも堂々と使える二重接線を瞬時に求める式変形テクと、記述では使わない方がいいけど検算で役立つ1/30公式等の一般化。
受験期真っ只中でもきちんとTwitterを見ている良い子の皆さんへプレゼント！
#チート式
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鬼math隊のイカれたメンバーを紹介するぜ！
妹の禰豆cosと固い絆で結ばれたtan治郎！
猪突猛進！何度微分されても決して自分を曲げないe之助！
あらゆる漸化式を瞬時に解く潜在能力を自覚していない漸逸！
そして、中学から大学までの入試の最前線で死闘を繰り広げる円柱(えんばしら)、弧長しのぶ！
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前回のチート式では「脱法ロピタル」が好評だったので「脱法パップスギュルダン」も作ってみました。記述も計算も楽です。この手法はあまり知られていないと思います。
重心の定義からパップスギュルダンの定理とほぼ等価ですが、有名な裏技であるバウムクーヘン積分はより広範に使えます。
#チート式
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高2のとき「点と直線の距離の公式を証明しなさい」という宿題が出て、先生を驚かせようとして27通りの方法で証明したときの資料がボロボロになった状態で出土した。
n次元で考える方法と回転行列を使う部分以外は全て高校数学。
勝負のつもりじゃなかったけど先生が授業中「負けた」とか言ってきた。
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黒歴史が出土した。中3の理科で真北を北と答えたら×っていう悪問のせいで満点逃して有志3人で下校時刻まで3時間ぐらい徹底論破しても先生が認めなかった日の次の登校日に提出した長文の反論文書。返信の内容からしてまともに読まれてないし採点も返却も終わってたので結局撤回されなかったけど。
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「東大上位互換模試」というものを作りました。2020年度の東大理系の数学の過去問を全て一般化・拡張・高次元化・設問増強して、もっと難しくしました。東大よりも上を目指したい方は是非挑戦してみてください。
解答一覧はリプ欄に用意します。
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高校生は無意識に"原点を通らない"グラフを想像して「原点で0じゃない」という表現に違和感を覚えるみたいですが、大学で数学や物理を学んだ人は無意識に高次元への一般化を想像してx=0を実1次元空間ℝあるいは複素数平面ℂの原点だと思ってそこで関数値が0でないと考えるので自然に感じるらしいです。
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ちなみに、私が以前やったtan治郎ネタはこのtan治郎平面です。
#tan治郎 twitter.com/keisankionwyki…
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。