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「正∞角形は円である」あるいは「lim[n→∞]正n角形は円である」という根拠を7つ挙げてみました。
初等幾何はもちろん、集合論、位相空間論、測度論、関数解析学など、様々な観点から色々と分析できます。
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全大学の入試数学で当時最難とされた伝説の2019年度東工大数学第4問（空間をn個の平面で分割したときにできる領域の個数に関する問題）をN次元に一般化してみました。
死ぬほど難しいです。
不思議なことに二項係数の和が現れます。
二重漸化式でゴリ押して「N重のシグマ」を工夫して計算しました。
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今年の東大入試理系数学のうち骨がありそうな問題を一般化してみました。
なんか難化したとか言われていますが、それよりも難しくしたので東大を超えたい人は是非挑戦してみてください。
一般化すると本質が可視化され、問題がいかに練られていたかもよく分かるようになります。
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sin 1°, cos 1°, tan 1°, sin 1, cos 1, tan 1が無理数であることの証明をまとめました。
ついでに角度の単位が度のものは代数的数、ラジアンのものは超越数になることも証明しました。
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定積分は対称性を利用すると驚くほど簡単に求まることがあります。
「対称性なんか考えてる暇があったら力ずくでも原始関数を求めてやる」という人もたまにいますが、やれるもんならやってみてください。
例えばこれは所謂King Propertyで求まる定積分ですが、原始関数は死ぬほど複雑になります。
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世間「そうだそうだ！努力する者は報われるんだ！」
数学徒A「1日当たり1を基準として積み重ねるなら和の方が自然。和だと大差が出ないから積にするって卑怯では？」
数学徒B「比が一定な根拠は？」
数学徒C「(1+1/n^2)の積は無限に続けても4を超えないぞ」
数学徒D「≒だろ」
数学徒E「有効数字w」
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数学徒F「努力が毎日必ず成果を生じるという仮定も非現実的」
数学徒G「そのモデルを適用できる努力の具体例は？」
数学徒H「1.01^{365.24×100}≒6.82×10^157となり、仮に最初が素粒子1個分だったとしてもその努力で増やし続けると100年後には観測可能な宇宙に存在する素粒子の個数を超えるので矛盾」
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Nの次の自然数→ N+1
Nの次に大きい自然数→ N-1
Nの次に小さい自然数→ N+1
Nの次に小さい数→ ill-defined
N番目に大きい自然数→ 存在しない
N番目に小さい自然数→ N（0を自然数に含まない場合）
日本語は難しい。つい「3は2の次に大きい自然数」とか言いがちだけど、よく考えるとおかしい。
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量子力学の「ΨとΨの共役を独立に動かす」という考え方は正当化できるかという質問が来てました。これは一応「複素では独立ではないけど実で見れば独立変数2つ分の自由度があり、それを変数変換したから」と言い訳できますが、この考え方は数学的に遠回りなので普通にΨだけで変分するのをお勧めします。 twitter.com/rikeisenjucano…
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暗殺教室、感動した。
アニメ2期第12話(漫画122話)で試験の緊迫感と体心立方格子の問題がリアルに描かれている。
つい立体を細分化してゴリゴリ計算しがちだけど、見方を変えれば複雑な計算を全くせずに答えが出る。
こういう広い視野と柔軟な発想こそが数学を前進させるのだ。
感動のあまり涙した。
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前者は数学徒、後者は物理学徒にウケやすい。数学徒は写像や定義域を気にするのに対し、物理学徒は量(実体)やイメージを気にする。前者は「代入する量y,y'が独立じゃなくても座標変数w,vは独立だから偏微分できる」という話だが、後者はその微分の正当化が終わった後で量δy,δy'の従属性を処理する話で
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解析力学あるある
教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」
物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」
教員「こういうもんだ！覚えろ」
数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」
物理学徒「なるほど👏」
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アンビリbotをネタにして数学の問題を作りました。場合の数や確率の良い計算練習になると思います。解答はリプ欄に貼ります。
1回の試行で「奇跡体験！アンビリバボー」が出る確率は1/800000。1年以内に出る確率は1%強。
「奇跡体験！アンビリバボー」が最初に出るまでにかかる時間の期待値は約91年。
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ロピタる：ロピタルの定理を使う
ピタゴラす：直角三角形の辺の長さを求める
ブラーマグプった：円に内接する四角形の面積を4辺の長さから求めた
ルベーぐ：測度で積分する
エラトステネす：数を篩にかけて素数だけ残す
ガウす：7歳で等差数列の和の公式に気付く
メビウす：どっちが表か分からなくなる
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もしもベッセル関数を扱うチャート式があったら。
ベッセル関数は実は数学科では習いませんが、物理・工学系では三角関数と同じくらい湯水のように使われます。
級数展開、漸化式、直交関係、母関数、加法公式、積分表示、漸近公式、グラフ、J_{1/2}の表示公式等は演習問題で頻出です。
#チェート式
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今回のチート式は5乗の和の公式をできるだけ効率よく導出します。高校数学では3乗和まで暗記させられて4乗和がよく問題で出されますが、5乗以上は正攻法では計算が地獄になります。
後で思いついたのですが、チート④としてf(x)=x^5にEuler–Maclaurinの和公式を適用しても簡単に求まります。
#チート式
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小学生の頃、複素数に似てるけどi^2=-1みたいな実数との特別な関係式をもたない「異世界数」っていう体系を思い付いて、きっと世界初の発見だと思ってた。でも数年後、ネットで調べて異世界数の体系がただの有理関数体と同型だと気付いて幻滅すると同時に人類の築き上げてきた数学の奥深さが身に染みた
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。