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数III以外のチートも見たいという意見が多かったので数IIのチートを考えました。
お題は記述でも堂々と使える二重接線を瞬時に求める式変形テクと、記述では使わない方がいいけど検算で役立つ1/30公式等の一般化。
受験期真っ只中でもきちんとTwitterを見ている良い子の皆さんへプレゼント！
#チート式
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「tan治郎」がトレンド入りしてるの、タイミングから考えて、このツイートが引き金になったのでは？
みんながこのツイートを見てtan治郎tan治郎言いまくった影響で、昔からある色々なtan治郎ネタも再び拡散されてそれらも巻き込んで話題になってるっぽい。
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謎の転校生「…(スラスラ)」
一般人「天才だ！」
数学徒A「二項係数が自然数である証明が不自然」
数学徒B「mod 14でx^2-2ax+b≡r^2-12r+1≡r^2+2r+1と表した方が簡便では？何度も時間遡行しても合同式にすら思い至らないんですか？」
数学徒C「最後地味に(a-1)bを(a-1)^bと書き間違えてませんか」
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「実数は存在するが、虚数は存在しない」と言う人vs「虚数が存在しないなら実数も存在しない」と言う人
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今回のチート式は5乗の和の公式をできるだけ効率よく導出します。高校数学では3乗和まで暗記させられて4乗和がよく問題で出されますが、5乗以上は正攻法では計算が地獄になります。
後で思いついたのですが、チート④としてf(x)=x^5にEuler–Maclaurinの和公式を適用しても簡単に求まります。
#チート式
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4つ以上の集合のベン図は描くだけでも至難の業。
円だけで表現可能なのは3集合までで、4,5集合だと楕円くらいは必要になり、6集合以上だと更にぐにゃぐにゃの図形が必要になる。
回転対称性をもつベン図は11集合まで知られてるけど実用性は皆無。
procrasist.com/entry/venn-dia…
visualizing.jp/euler-venn-dia…
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ついに禁断の「黒チート」を解禁する時が来ました。
東大の過去問を例にして、n個のサイコロの出た目の和や積が与えられた条件を満たす値になる確率や場合の数を「代数的」に計算できる裏技公式を紹介します。
場合の数を多項式の係数と見れば、面倒な場合分けは不要になります。
#チート式
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浪人生「教えてあげる」
友達「やったー！」
数学徒A「積分定数がない」
数学徒B「| |を\ \で代用するな」
数学徒C「sinは斜体表記するな」
数学徒D「漸化式のsin^2はsin^nの誤植だ」
数学徒E「逆三角関数は高校範囲か」
数学徒F「最終行の部分積分がめちゃくちゃだ」
数学徒G「数式がTeXじゃない」
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ボールウェイン積分と呼ばれる世にも奇妙な積分です。
sin(x/k)/(x/k) (k:奇数)を掛けた積分は7個目まで正確にπ/2なので、そのパターンがずっと続くのかと思いきや、8個目から微妙にズレ始めます。ホラーです。
実はフーリエ変換を使って畳み込みのグラフを考えると直感的に理解できて謎が解けます。
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謎の転校生「円錐の体積はこのように積分して…」
一般人「すげぇ！天才児だ！」
数学徒「この証明は美しくない。Cavalieriの原理より2立体のある平面に平行な任意の平面による断面積の比が一定値aなら体積比がaになることから初等的に求まるのに、より構成が複雑な積分を使うのは文明の無駄遣いだ」
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暗殺教室、感動した。
アニメ2期第12話(漫画122話)で試験の緊迫感と体心立方格子の問題がリアルに描かれている。
つい立体を細分化してゴリゴリ計算しがちだけど、見方を変えれば複雑な計算を全くせずに答えが出る。
こういう広い視野と柔軟な発想こそが数学を前進させるのだ。
感動のあまり涙した。
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前回のチート式では「脱法ロピタル」が好評だったので「脱法パップスギュルダン」も作ってみました。記述も計算も楽です。この手法はあまり知られていないと思います。
重心の定義からパップスギュルダンの定理とほぼ等価ですが、有名な裏技であるバウムクーヘン積分はより広範に使えます。
#チート式
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∫dx f(x)のここがスゴい
・dxの付け忘れ防止になる
・∫dxが積分作用素だと思えば自然
・被積分関数が長い場合や逐次積分が見易い
・物理学徒にはウケが良い
∫dx f(x)のここがダメ
・非常識
・見た目がキモい
・∫dxとf(x)の積と紛らわしい
・高校数学の先生に怒られる
・微分形式にケンカ売ってる
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こういう平方根と和の無限反復を求めるやつ、勝手に収束すると決め付けて値だけ求めるのがありがちだけど、ダメでしょ。
そもそもこのaが確定するかも非自明だし、a=∞でもa=√(x+a)になってしまうぞ。
収束についてちゃんと議論されることが少なそうなので書いてみた。
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「東大上位互換模試」というものを作りました。2020年度の東大理系の数学の過去問を全て一般化・拡張・高次元化・設問増強して、もっと難しくしました。東大よりも上を目指したい方は是非挑戦してみてください。
解答一覧はリプ欄に用意します。
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積分アレルギーのある人から「積分のチートばっかりだ」とクレームが入ったので積分と関係ないチートを考えました。
対称性・交代性を上手く使えば、面倒な文字式の計算を全くせずに因数分解できます。
対称性や交代性がない式の因数分解も多変数の因数定理で楽にできる場合もあります。
#チート式
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某漫画のワンシーンが「積分のdxがない」「Σcosθとか頭大丈夫か」などと先週話題になりましたが、ここでBrezisによる積分の略記と不定和分の記法を見てみましょう。
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sinを無限回合成すると0に収束しますが、そのスピードがどのくらいか見積もったら不思議なことが分かりました。
「合成回数nの平方根の逆数」ぐらいの勢いで0に行きます。何故かルートが出てきます。しかも1/√nとの比は初期値xによらずに√3という値に収束します。興味深いです。
東大数理←東大数学科←理科I類←国高68th800。学生です。数学垢。5日に1回浮上。大学数学耐性のない人はフォロー非推奨。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。